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YAML 元数据 已设置 tags: [KACTL, 几何, 核心实体]。
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核心概述 二维点/向量的统一抽象，提供加减、数乘、点积/叉积、旋转、单位化等基础算子，作为所有平面几何模块的共同基石。
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原文引述
Description: Class to handle points in the plane. T can be e.g. double or long long. (Avoid int.) Status: Works fine, used a lot
- 展开阐述
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定义与背景
- Point
同时表示“点”（位置）与“向量”（位移），在计算几何中二者以同一代数结构处理。 - 常用坐标类型：
- long long：离散/整数几何，方向判定与相等性稳健；需注意中间量溢出；
- double/long double：连续几何/需要浮点运算，精度由 eps 控制。
- 语义约定：本文所有“向量运算”均以原点为默认参考；涉及线段/直线时，显式以差向量构造。
- Point
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数据成员与基本接口（据实现）
- 成员：T x, y。
- 比较：
- operator<：按 (x,y) 词典序；用于排序/集合键；
- operator：按 (xx && y==y) 判断（整数稳健，浮点需配合 eps 做近等）。
- 算术：
- 加减：p±q 分别为向量/点的逐分量加减；
- 标量乘除：p*k、p/k（k 为同类型或可转换的标量）。
- 几何原语：
- dot(q) = xq.x + yq.y
- cross(q) = xq.y − yq.x
- cross(a,b) = (a−this).cross(b−this)（三点有向面积的 2 倍）
- dist2() = x² + y²；dist() = sqrt(dist2())。
- 向量操作：
- angle() = atan2(y, x) ∈ [−π, π]
- unit()：单位化向量 v/|v|
- perp()：顺时针旋转 90°，(-y, x)
- normal()：perp().unit()（单位法向）
- rotate(a)：绕原点逆时针旋转角 a（弧度）
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核心流程/要点（算子语义与一致性）
- 点/向量统一：几何关系通过差向量表达，例如直线方向 v = b−a，线段交/点线距离均以 v 与其他向量的 dot/cross 组合给出。
- 方向与面积：
- cross(u, v) 的符号决定“u 到 v 的有向转角”正负；|cross|/2 等于由 u、v 构成三角形面积。
- 旋转与法向：
- perp 相当于与 v 正交的法向，长度等于 |v|；与投影/反射等模块搭配常见（见 035-几何-线的投影与反射）。
- 单位化与零向量：
- 对 |v|≈0 的向量 unit() 未定义或数值不稳定；工程上以 eps 判零并分支。
- 角度：
- angle() 以原点为参照；若需绕点 c 旋转/取角，应先平移为 p−c 再使用。
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复杂度与边界条件（数值、溢出、精度）
- 时间：所有基本操作 O(1)。
- 整数几何：
- cross/dot 可能产生“三乘”或“平方和”，坐标范围大时用内置 128 位或长浮点过渡；
- 比较与相等可直接使用 ==，避免误差。
- 浮点几何：
- 统一 eps（如 1e−9）做“近零/近等”判定；避免不同模块阈值不一致；
- 旋转与单位化对数值敏感，尽量用 long double 保持精度。
- 单位一致性：保证输入在统一坐标系/量纲下；混用像素/米等会导致结果不可解释。
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变体/扩展与协同
- 极坐标接口：可在此类上扩展 toPolar()/fromPolar(r, θ) 便于与角/半径问题互转。
- 与整数格点运算：可增加整除/约分获得方向的最简整向量（如用于哈希）。
- 与其他模块协作：
- 032-几何-点线距离、034-几何-直线相交、035-几何-线的投影与反射、048-几何-线段相交 均复用 dot/cross。
- 与 025-几何-凸包、028-几何-凸包直径 等要求严格方向判定的算法共享符号语义。
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正确性要点与不变式
- 代数一致性：加减与数乘满足交换/结合/分配等线性空间公理；dot/cross 与旋转、长度关系遵循标准向量恒等式。
- 几何一致性：通过差向量构造关系，避免“坐标系原点不同”造成的偏移错误。
- eps 策略：所有涉及比较的上层算法应从一个统一来源取得 eps，以保证跨模块一致。
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与相邻技术的对比与取舍
- 以复数表示 2D 向量亦可实现旋转（复乘）等操作；Point 类直观，且与整型坐标/模板泛化更兼容。
- 矩阵/仿射框架适合批量线性变换（见 031-几何-线性变换）；基础几何原语仍建议以 Point 表达。
- 关联节点