040-几何-三维点

1. YAML 元数据 已设置 tags: [KACTL, 几何, 核心实体]。

2. 核心概述 三维点/向量的统一抽象，提供加减、数乘、点积、叉积、罗德里格斯旋转、单位化与方位/极角等操作，是空间几何判定与构造（法向、共线/共面、体积）的基础。

3. 原文引述

Description: Class to handle points in 3D space. T can be e.g. double or long long. Status: tested, except for phi and theta

4. 展开阐述

• 定义与背景

  • Point3D 同时表示“空间点”（位置）与“向量”（位移），以统一代数结构支撑 3D 计算几何。
  • 常用类型：
    • long long：离散/整数几何，方向与相等稳健；需关注中间量溢出；
    • double/long double：连续几何/需要旋转与单位化时使用，以 eps 控制比较。
  • 典型适用场景：法向计算、共线/共面判定、直线/平面角度、刚体旋转、体积与几何优化（如 017-几何-三维凸包、046-几何-多面体体积）。

• 数据成员与基础接口（据实现）

  • 成员：T x, y, z。
  • 比较：
    • operator<：按 (x,y,z) 词典序；用于排序/哈希键；
    • operator==：坐标逐分量相等（浮点需配合 eps）。
  • 算术：
    • 向量加减：p±q；
    • 数乘/数除：p*k、p/k（k 为标量）。
  • 几何原语：
    • 点积 dot(q) = xq.x + yq.y + z*q.z（长度、投影、夹角余弦）；
    • 叉积 cross(q) = (yq.z−zq.y, zq.x−xq.z, xq.y−yq.x)，与两向量张成的有向面积相关；
    • 长度：dist2() = x²+y²+z²，dist() = sqrt(dist2())。
  • 空间操作：
    • phi()：平面投影到 xy 平面的方位角 atan2(y, x)；
    • theta()：与 z 轴的极角 atan2(sqrt(x²+y²), z)；
    • unit()：单位向量 v/|v|；
    • normal(p)：与自身和 p 都垂直的单位法向 cross(p).unit()；
    • rotate(angle, axis)：绕单位轴 axis 逆时针旋转 angle（罗德里格斯公式）。

• 核心流程/要点（空间判定与构造）

  1. 共线与共面
     • 共线：|u×v| ≈ 0（两向量平行/同向/反向）；
     • 共面：混合积（标量三重积）零判：mix(u, v, w) = u·(v×w) ≈ 0。
  2. 法向与平面
     • 已知平面内两非平行向量 a, b，平面法向 n = a×b；单位法向 n̂ = n.unit()；
     • 点到平面距离：|n·(p−p0)|/|n|；符号由法向方向决定。
  3. 旋转（Rodrigues）
     • 设轴为单位向量 k，角度 θ，向量 v 旋转后
       • v’ = v cosθ + (k×v) sinθ + k(k·v)(1−cosθ)
     • 数值实现应保证 axis 预单位化，并对 |axis|≈0 早退。
  4. 直线与角度
     • 两向量夹角：cosθ = (u·v)/(|u||v|)，注意对 |u|≈0 或 |v|≈0 的处理；
     • 平行判定：|u×v| ≤ eps；垂直判定：|u·v| ≤ eps。
  5. 体积与方向
     • 有向平行六面体体积：V = u·(v×w)；四面体体积 = |V|/6；
     • 符号决定“右手系朝向”，用于一致性校验与面朝向判断（如 3D 凸包的内外法向）。

• 复杂度与边界条件（数值、溢出、精度）

  • 时间：上述操作均为 O(1)。
  • 整数几何：
    • 叉积/混合积涉及“三乘/四乘”与加法，64 位可能溢出；建议 __int128/内建 128 位过渡或转用 long double 比较；
    • 方向与相等可直接按整等式判定（无舍入误差）。
  • 浮点几何：
    • 统一 eps（如 1e−9 或随量级设定相对阈值）用于零判与相等；
    • 旋转与单位化对数值敏感，axis 需单位化；对极小角度用泰勒近似可提升稳健性；
    • phi/theta 在近极区（|z|≈|v| 或 |x|,|y|≈0）数值不稳定，应允许返回近似值并在上游容错。
  • 坐标尺度与单位：保持单位一致（米/毫米），避免在体积/角度混合运算中放大误差。

• 变体/扩展与协同

  • 提供 mix(u,v,w) 封装标量三重积，简化共面/体积计算；
  • 增加 proj/comp：向量在给定方向上的投影与分量；
  • 与其他模块协同：
    • 046-几何-多面体体积：直接使用混合积/面分解；
    • 017-几何-三维凸包：法向、面朝外性与共面/共线判定；
    • 032-几何-点线距离 的 3D 版使用 |(p−a)×(b−a)|/|b−a|。

• 正确性要点与不变式

  • 线性代数一致性：dot/cross/mix 满足标准恒等式（如 u·(v×w) = v·(w×u) = w·(u×v)）；
  • 方向不变式：右手定则决定叉积方向，保持面法向与体积符号一致；
  • 归一化前置：涉及角度/旋转/投影的计算需对用于尺度的向量做单位化，避免量纲混淆。

• 与相邻技术的对比与取舍

  • 四元数旋转 vs. 罗德里格斯：四元数数值更稳健、可组合，但实现更重；Rodrigues 简洁、与向量原语一致；
  • 矩阵形式适合批量/级联变换；Point3D 原语便于内联几何推导。

5. 关联节点

• 039-几何-点
• 017-几何-三维凸包
• 046-几何-多面体体积
• 032-几何-点线距离