核心概述：计算两圆的外公切线（令 r2 取相反数可得内公切线），返回 0/1/2 对切点，含相切与退化判定，时间 O(1)。
Description: Finds the external tangents of two circles, or internal if r2 is negated. Can return 0, 1, or 2 tangents — 0 if one circle contains the other (or overlaps it, in the internal case, or if the circles are the same); 1 if the circles are tangent to each other (in which case .first = .second and the tangent line is perpendicular to the line between the centers). .first and .second give the tangency points at circle 1 and 2 respectively. To find the tangents of a circle with a point set r2 to 0.
展开阐述：
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定义与背景
- 问题：给定圆 (c1, r1)、(c2, r2)，求它们的公切线切点对 {(t1, t2)}，每对对应一条切线，t1 位于圆1，t2 位于圆2。
- 能力边界：当两圆同心或内含（对“外公切线”情形），不存在有效公切线；当两圆相切，仅存在一条公切线（返回一对相同的切点）。
- 接口（据实现）：
- tangents(c1, r1, c2, r2) → vector<pair<P,P>>，支持外/内公切线；将 r2 取相反数即可切换外↔内。
- 特例“点与圆”切线：令 r2=0。
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核心算法流程（闭式向量法）
- 设 d = c2 − c1，d2 = |d|²，dr = r1 − r2，h2 = d2 − dr²。
- 退化与不可行：
- 若 d2 == 0（同心）或 h2 < 0（外切线下“一圆包含另一圆”，或内切线下“重叠”），无解，返回空。
- 构造方向向量：
- 对 sign ∈ {−1, +1}，令 v = (d * dr + d.perp() * sqrt(h2) * sign) / d2。
- 切点对为：{c1 + v * r1, c2 + v * r2}。
- 相切去重：
- 若 h2 == 0，仅保留其中一对（两条切线重合为一条）。
- 返回 0/1/2 对切点。
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复杂度与边界条件
- 复杂度：常数时间 O(1)。
- 边界：
- 同心（d2==0）：无公切线（无限多条不经过圆的公共法线并非“切线”）。
- 内含（h2<0）：外公切线不存在；对“内公切线”情形也可能无解（当两圆重叠或相同）。
- 相切（h2==0）：仅一条切线，切点对合并为一对。
- 点与圆：r2=0 时返回过该点的两条切线切点（若几何可行）。
- 数值稳定性：
- 使用 double 时 sqrt(h2) 在 h2≈0 可能出现微小负值，可用 eps 上夹：h2 < −eps 视为无解，|h2| ≤ eps 视为相切。
- d2 作为分母，避免 d2 极小导致数值爆炸；同心情形已提前返回。
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实现细节与常见坑
- d.perp() 表示将向量 d 旋转 90°（方向依实现而定），用以构建两条对称切线的法向分量。
- 返回为切点对而非切线显式表达式；若需切线方程可将切点与圆心连线之法向得到。
- “内公切线”通过令 r2 取相反数统一到同一公式，避免另写一套推导。
- 切点顺序：两圆切点一一对应；遍历 sign 可得到两条（或一条）切线。
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变体与扩展
- 圆与点（r2=0）：求过点的圆切线切点。
- 圆与直线：可用020-几何-圆与直线相交转化或直接投影求切点。
- 多圆批量切线：可用于构造圆弧可见轮廓或通行走廊的边界线段。
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正确性要点与不变式
- 构造的 v 同时满足到两圆的切向一致性：v 在两圆切点处的切向方向一致，且半径向与切线垂直。
- h2 的几何意义为“梯形高度平方”，其非负性刻画两圆存在实切线的必要条件。
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对比与取舍
- 与解联立方程（圆方程+切线约束）的代数法相比，向量闭式法更简洁、数值表现更稳健。
- 与枚举角度的数值解相比，闭式法 O(1) 且精确。