050-几何-球面距离

在半径为 radius 的球面上，计算两点间沿大圆的最短弧长；输入以方位角 f（经度，绕 z 轴）与天顶角 t（余纬，自 z 轴起），角度单位为弧度。

Returns the shortest distance on the sphere with radius radius between the points with azimuthal angles (longitude) f1 (${\varphi }_1$) and f2 (${\varphi }_2$) from x axis and zenith angles (latitude) t1 (${\theta }_1$) and t2 (${\theta }_2$) from z axis (0 = north pole). All angles measured in radians. Status: tested on kattis:airlinehub

展开阐述

• 定义与背景

  • 模型：单位球（或半径为 radius 的球）上的两点最短路径位于穿过两点与球心的“大圆”上，其长度为球心夹角乘以半径。
  • 输入坐标系：以 (f, t) 表示球面坐标，其中
    • f：方位角（经度），相对 x 轴在 xy 平面的极角
    • t：天顶角（余纬），相对 z 轴的夹角（t=0 为北极）
  • 典型场景：地理/导航的球面距离、球面最近路由、球面插值与采样步长设定等。

• 接口/数据结构（据实现）

  • 函数签名：double sphericalDistance(double f1, double t1, double f2, double t2, double radius)
    • 参数单位：f1,f2,t1,t2 均为弧度；radius 为长度单位（米/千米等），返回值与其同单位
  • 协同实体：
    • 若已有笛卡尔坐标，可直接通过向量夹角计算再乘 radius
    • 与 040-几何-三维点、039-几何-点 的向量原语可协同完成“坐标转化/夹角”

• 核心流程/要点

  1. 球面坐标转笛卡尔坐标（文件注释方案）
     • x = sin(t)·cos(f)
     • y = sin(t)·sin(f)
     • z = cos(t)
     • 得到两点 u、v 后，欧氏差 d = |u−v|
     • 球面弧长 s = radius · 2 · asin(d/2)
  2. 夹角法（等价形式）
     • 以点积得到夹角：c = clamp(u·v, −1, 1)；α = acos(c)
     • 返回 s = radius · α
     • 与上式等价，差别仅在反三角函数的数值表现
  3. 数值稳定性与选择
     • 小角度时，2·asin(d/2) 具有良好的相对稳定性；点积法需对 c 做夹取以防 acos 域外
     • 近对跖点时（α≈π），d≈2；两种公式均可，但需统一 eps 约束与夹取
  4. 单位与量纲
     • 输入是弧度制；若外部以角度制供值，应先转弧度
     • 返回值的长度单位与 radius 一致

• 复杂度与边界条件

  • 时间：O(1)
  • 边界：
    • 同一点：返回 0
    • 对跖点（相距 180°）：α=π；弧长 = π·radius
    • 半径为 0：退化返回 0
  • 数值与精度：
    • 需对 dot(u,v) 做 clamp 以防因舍入导致的 |c|>1
    • 使用 double 可满足绝大多数场景；更高精度可使用 long double
    • 以 eps 统一“几乎重合/几乎对跖”的阈值，避免反三角函数不稳定

• 变体/扩展

  • 已有笛卡尔坐标输入：跳过 (f,t)→(x,y,z) 转换，直接用夹角法
  • 返回球心夹角：若下游只需角度 α，可直接返回 α 而非弧长
  • 球面插值（slerp）：在 u、v 间按角度比例插值得到球面中间点（实现不在本节点）
  • 地理坐标适配：经纬度与 (f,t) 的映射可在上游完成；本函数保持弧度制输入
  • 椭球近似限制：本节点基于完美球体；若需地球椭球模型，应改用专门大地测量公式（不在本节点）

• 正确性要点与不变式

  • 单位球几何：弧长等于球心夹角乘以半径；两个方案（asin 与 acos）本质一致
  • 方向与闭式一致性：坐标转化后得到单位向量，保证 |u|=|v|=1，从而 dot、norm 等量计算保持简洁稳定
  • 夹取不变式：在浮点误差下保持 c∈[−1,1]，保证 acos 有定义

• 与相邻技术的对比与取舍

  • 与“平面投影距离”对比：平面近似仅适用于小范围；球面距离在全球尺度保持正确性
  • 与向量夹角法：二者等价；asin(d/2) 在小角时更稳健，acos(dot) 在实现上更直接
  • 与 040-几何-三维点：可直接利用点积与单位化接口，减少重复实现
  • 与 039-几何-点：二维向量原语可用于在局部图上近似，但不提供球面最短路

关联节点

• 040-几何-三维点
• 039-几何-点