046-几何-多面体体积

计算封闭三角网格多面体的有向体积：将关于原点的四面体体积代数相加，面外法向为正，结果为 v/6。

Description: Magic formula for the volume of a polyhedron. Faces should point outwards. Status: tested

展开阐述

• 定义与背景

  • 场景：给定由三角面片组成的封闭多面体网格（每个面以顶点索引 a,b,c 表示），需快速求体积。
  • 有向体积：采用右手系，面片顶点顺序按外法向（朝外）排列时，为正体积；若顺序颠倒（法向朝内）则贡献为负。
  • 表达：将多面体拆为“原点 O 与面片三角形 △(p[a],p[b],p[c])”构成的若干四面体；代数和即体积（与散度定理一致）。

• 接口/数据结构（据实现）

  • 函数签名：template<class V, class L> double signedPolyVolume(const V& p, const L& trilist)
    • p：顶点数组（例如 vector<Point3D> 或等价的三维向量类型）
    • trilist：三角面列表（元素含 a,b,c 顶点索引）
    • 返回值：有向体积（朝外为正）
  • 几何量与单位：坐标单位为“长度”，叉积·点积组合得到“长度^3”，最终体积单位与输入一致。

• 核心流程/要点

  1. 面分解与符号一致性
     • 对每个三角面 (a,b,c) 计算 S = (p[a]×p[b])·p[c]
     • 代数和 v = Σ S，体积 = v / 6
     • 直觉：混合积 u·(v×w) 即以 u,v,w 构成平行六面体的有向体积；三角面与原点的四面体体积为该混合积的 1/6
  2. 参考点与开口性
     • 以“原点”为参考的四面体分解；只要网格封闭且面朝外，结果与原点位置无关（代数和会相互抵消平移影响）
     • 若网格不闭合或法向不一致，将导致体积估计错误（出现泄漏或部分负贡献）
  3. 法向方向的校验
     • 面顶点顺序应满足外法向；若来源不保证，可用点-面关系或多面体重心处于“内侧”的规则统一方向
     • 在 040-几何-三维点 中，叉积方向由右手定则决定；应全局保持一致的右手系
  4. 退化与稳健性
     • 退化面（共线/零面积）贡献为 0，不影响体积
     • 顶点非常接近原点或坐标量级很大时，浮点舍入误差会累积；可选 long double 提升稳健性
     • 若坐标使用整数且数值范围大，混合积中间量可能超出 64 位范围，需以 128 位整型或长浮点过渡

• 复杂度与边界条件

  • 时间：O(F)，F 为三角面数；一次线性遍历
  • 边界：
    • 开放网格/自交网格：不在定义域内（体积不确定）；自交会产生代数体积与“几何填充体积”不一致
    • 面向内：体积取负；混合存在内外不一致时，最终数值会被抵消或失真
    • 顶点在原点附近：公式有效；原点无需在体内
  • 数值与溢出：
    • 三重积涉及“乘乘加”，建议对大坐标采用 long double 或 128 位整型中间值
    • 批量累计时注意使用 Kahan 或 pair-sum 等技巧可进一步降低浮点损失（可选）

• 变体/扩展

  • 参考点换元：亦可选用任意参考点 O0，把 p[i] 替换为 p[i]−O0；若网格闭合且朝外，和不变
  • 非三角面网格：每个多边形面先三角化（保持方向一致），再套用同一公式
  • 凸/非凸多面体：公式均适用；非凸情形的凹陷会通过负贡献正确抵消
  • 与重心计算协同：与043-几何-多边形重心的“面积×质心”思想类似，3D 可通过对四面体“体积×质心”求加权平均得到整体质心（实现不在本节点）

• 正确性要点与不变式

  • 向量恒等式：混合积的循环置换不变与符号性质确保“面方向一致 ⇔ 体积符号一致”
  • 保守性：对封闭曲面的通量积分（散度定理）与四面体分解一致，线性累加不重不漏
  • 方向不变式：统一外法向后，任何局部面顺序变换都会被全局一致性吸收，保持体积正确

• 与相邻技术的对比与取舍

  • 与体素/栅格近似：本法为解析精确解；体素化适合近似体积或布尔运算的数值方法
  • 与三维凸包 017-几何-三维凸包：若仅有点集需体积，可先构造凸包并以其三角面应用本公式
  • 与二维面积 042-几何-多边形面积 的鞋带公式：三维体积等价于“3D 鞋带”的混合积版本

关联节点

• 040-几何-三维点
• 017-几何-三维凸包
• 042-几何-多边形面积
• 043-几何-多边形重心