核心概述：将简单多边形分解为“原点+边”的三角形，用面积加权求和在 O(n) 时间内计算几何重心（质心）。
Description: Returns the center of mass for a polygon. Time: O(n)
展开阐述
- 定义与背景
- 定义：多边形重心（center of mass/centroid）是将多边形视为均匀密度刚体时的质心位置。
- 假设与能力边界：默认简单多边形（无自交），顶点按顺序给出；顶点方向不影响结果坐标，但会影响中间的有向面积符号，需统一处理。
- 典型场景：几何形状的代表点/平移对齐、物理仿真中的合力合矩简化、与旋转/碰撞的支点计算、与042-几何-多边形面积合用做形状分析。
- 接口/数据结构（据实现）
- 函数签名：P polygonCenter(const vector
& v)，P = Point
。 - 语义：返回多边形 v 的质心坐标；内部以双精度累加，最后做一次整体归一。
- 与面积复用：实现中会同时累计两倍有向面积 A（可与“鞋带公式”共用），便于统一符号与规模。
- 函数签名：P polygonCenter(const vector
- 核心流程/要点（面积加权的边遍历公式）
- 索引与闭合：遍历 i=0..n-1，令 j=(i+1)%n 表示后一顶点，按有向边 (v[i], v[j]) 累计。
- 局部量：设 c = cross(v[i], v[j])（两倍有向三角形面积，原点为第三点）。
- 坐标加权：res += (v[i] + v[j]) * c。直观理解为：边中点的坐标乘以该“三角片”的有向面积。
- 面积累计：A += c。
- 归一：返回 res / (3*A)。当 A<0（顺时针）时，分子分母同号，结果仍为正确的几何坐标。
- 复杂度与边界条件
- 时间复杂度：O(n)。
- 退化：
- n<3 或 area≈0：退化为线或点，重心未定义或等价于点集合的算术平均；工程上应在上游检测并分支。
- 自交多边形：按代数面积加权得到的是“代数质心”，不再等价于几何并域的物理质心。
- 数值与精度：
- 浮点累加建议使用 double/long double；大坐标或大量顶点时误差累计可观。
- 若输入为整数坐标而需要精确分数，可内部以有理数/高精度类型累计再转出。
- 变体/扩展
- 已知面积复用：若已计算出 area2（两倍有向面积），可直接将 A 设为 area2 并跳过再次求和。
- 带洞多边形：对每个环独立累加；约定外环取正、内环取负（与面积符号一致），总和后再归一。
- 多边形平移不变性：先平移再求心与先求心再平移结果一致，可用于数值稳定（把重心附近平移至原点）。
- 正确性要点与直觉性证明
- 三角形质心为三个顶点的平均（或“重心在中线 2:1 处”）；多边形按“原点与相邻顶点”分解为若干三角形，其重心为这些三角形质心的面积加权平均，线性性保证合并正确。
- 有向面积的符号一致性保证了 cw/ccw 的统一；最终 res/(3A) 消去符号影响，得到几何坐标。
- 与相邻技术的对比与取舍
- 与042-几何-多边形面积：两者共用边叉积累计；先得 area2 再得重心可减少一次遍历或复用中间量。
- 与点集算术平均：算术平均不考虑形状的填充几何，仅适用于“顶点质量均分”的模型；本方法给出均匀密度实体的物理质心。
- 与044-几何-多边形切割：切割后重心可通过对两个部分分别求心与面积，再做面积加权合并得到整体重心。
关联节点