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YAML 元数据 已设置 tags: [KACTL, 几何, 核心实体]。
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核心概述 在二维中，将点 p 按直线 ab 的方向作正交投影；可选 refl=true 以返回 p 关于该直线的镜像对称点，时间 O(1)。
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原文引述
Projects point p onto line ab. Set refl=true to get reflection of point p across line ab instead. Status: stress-tested
- 展开阐述
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定义与背景
- 投影（projection）：把点 p 沿着直线 ab 的法向“垂下去”，落到直线 ab 上得到最近点 proj(p)。
- 反射（reflection）：关于直线 ab 的镜像点 refl(p)，满足直线 ab 是线段 p–refl(p) 的中垂线。
- 常见场景：最近点查询、光线反射与法线反弹、到线段的最短距离计算、与半平面/裁剪等模块组合。
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接口/字段说明（据实现）
- 函数签名：template
P lineProj(P a, P b, P p, bool refl=false) - a,b：定义直线的两点（需 a≠b）
- p：待投影/反射的点
- refl：false 返回投影；true 返回反射
- 几何量含义与单位：
- v = b − a：直线方向向量
- v.perp()：把 v 旋转 90° 得到法向（长度同 |v|）
- v.cross(p−a)：p 相对 ab 的有向面积（底为 |v|），单位为“长度²”
- v.dist2() = |v|²：作归一比例的分母
- 返回点坐标单位与输入坐标一致
- 函数签名：template
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核心流程/要点（向量分解与公式）
- 方向与法向
- 令 v = b − a，n = v.perp()，则 n 是 ab 的法向
- 投影/反射统一公式
- 返回值：p − n * (1 + refl) * (v.cross(p−a)) / |v|²
- refl = 0（投影）：减去法向分量的 1 倍，落到直线上
- refl = 1（反射）：减去法向分量的 2 倍，实现镜像
- 返回值：p − n * (1 + refl) * (v.cross(p−a)) / |v|²
- 与参数化的一致性
- 亦可用参数 t = dot(p−a, v)/|v|²，投影点为 a + v*t；上式等价且避免重复 dot 计算（直接使用 cross 与 perp）
- 方向与法向
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复杂度与边界条件
- 时间复杂度：O(1)
- 退化：
- 若 a==b，则 |v|²=0，直线未定义；调用前需规避
- 数值注意：
- 中间涉及“三坐标乘积”与除法；若 P=Point
且结果不为整数，会因整除截断返回错误点（文件注释已指出） - 建议在整数坐标大值域或高精度要求下使用 long double/double 版本
- 近退化 |v|² 很小会放大误差；工程上以 eps 判断并分支处理
- 中间涉及“三坐标乘积”与除法；若 P=Point
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变体与扩展
- 点到射线/线段的投影：
- 先按直线投影得到参数 t = dot(p−a, v)/|v|²
- 射线：裁剪 t 至 [0, +∞)；线段：裁剪 t 至 [0,1]，得到最近点
- 最近距离/最短向量可与 032-几何-点线距离 的分子/分母共用缓存
- 多次反射/镜像：在光线追踪/几何光学中可迭代调用，注意累计误差与终止条件
- 法向与切向分解：在动力学与碰撞中，把速度分解到切/法方向，配合“反射=法向分量取反”实现弹性反弹
- 点到射线/线段的投影：
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正确性要点与不变式
- 向量分解直觉：p−a 可分解到切向 v 与法向 n 上；投影/反射仅修改法向分量的大小/符号
- 交替性质：refl(refl(p)) = p（对同一直线重复反射两次回到原点）
- 正交性：p−proj(p) 平行于法向 n；proj(p) 在 ab 上
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与相邻技术的对比和取舍
- 032-几何-点线距离：距离的有向/无向量化度量；本函数直接返回坐标点，互为补充
- 034-几何-直线相交：当需要与另一条线/边相交点时，应切换到线与线求交
- 047-几何-线段间距离：线段最近距离内部即包含“对端点的投影再裁剪”的模式
- 049-几何-点在直线哪侧：由 cross 符号判侧，常与投影/反射的法向选择配合
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工程实践注意
- eps 策略：比较“是否落在线上/哪一侧/是否顶点接触”时应统一阈值
- 预计算与缓存：批量调用时缓存 |v|²、其倒数 invLen2、以及 n，可显著降低常数
- 坐标系一致性：保证输入坐标单位一致；必要时在变换/投影前统一坐标系或执行归一化
- 关联节点