核心概述
在区间 [a,b] 上用复化梯形与辛普森等规则近似积分并控制误差阶，作为固定步长的一般数值积分方法。
原文引述
Description: Composite trapezoid and Simpson rules for numerical integration on [a,b]. Deterministic, easy to implement; use adaptive Simpson for automatic accuracy control. Time: O(n) function evaluations Status: tested ——摘自本节点现有英文注释
展开阐述
-
定义与背景、典型适用场景
- 数值积分（Numerical Integration）：对不可解析或成本较高的 f(x) 进行 ∫_a^b f(x) dx 的近似计算。
- 固定步长规则（复化梯形/辛普森）适合平滑函数；当函数局部变化剧烈或存在奇异点时固定步长不易匹配，应考虑自适应方案（见 105-数值算法-自适应积分）。
-
接口/字段/输入输出语义（据实现约定）
- double trapz(double a, double b, int n, auto f)
- 将 [a,b] 均分为 n 段（n≥1），返回复化梯形近似。
- double simpson(double a, double b, int n_even, auto f)
- n_even 为偶数，按 2 点一组应用 1/3 Simpson，返回复化辛普森近似。
- 可选：romberg(a,b,f,levels)
- 在复化梯形序列上做 Richardson 外推的 Romberg 表，提高阶数。
- 输出语义：返回对 ∫_a^b f(x) dx 的数值近似；n 越大在平滑情形下通常越精确。
- double trapz(double a, double b, int n, auto f)
-
核心流程与关键要点（公式与误差阶）
- 复化梯形（Trapezoid）
- h=(b−a)/n，x_i=a+i·h， I_T ≈ h·[ (f(x_0)+f(x_n))/2 + Σ_{i=1}^{n−1} f(x_i) ]，
- 误差阶约 O(h^2)（依赖二阶导数上界）。
- 复化辛普森（Simpson 1/3）
- n 为偶数，h=(b−a)/n， I_S ≈ h/3 · [ f(x_0)+f(x_n) + 4·Σ_{奇 i} f(x_i) + 2·Σ_{偶 i, 2≤i≤n−2} f(x_i) ]，
- 误差阶约 O(h^4)（依赖四阶导数上界）。
- Romberg（可选）
- 构造 T(h), T(h/2), T(h/4)…，按 R_{k,m}=R_{k,m−1} + (R_{k,m−1}−R_{k−1,m−1})/(4^{m−1}−1) 递推外推。
- 复化梯形（Trapezoid）
-
数值稳定性/精度注意
- 步长与误差：固定步长难以适配未知奇异/剧烈变化区域；建议优先考虑 105-数值算法-自适应积分 实现自动精度控制。
- 奇异点与不连续：在奇点处拆分区间或做变量代换；对强振荡可结合合适的积分技术（仅在仓库层面提示，不展开）。
- 浮点稳定性：长区间或函数值差异极大时注意累计误差；Kahan 求和有助减少损失。
- 并行化：f(x_i) 的评估可并行；合并求和时注意加法顺序的数值稳定。
-
复杂度与边界条件、常见变体/扩展
- 复化梯形/辛普森：O(n) 次函数评估与 O(n) 运算；Romberg 约 O(n) 评估 + O(n) 外推。
- 当需按目标精度 ε 自动控制时，改用 105-数值算法-自适应积分（自适应辛普森）。